सहयोगी संपत्ति बीजगणित के संदर्भ में प्रकट होती है और दो प्रकार के कार्यों पर लागू होती है: जोड़ और गुणा । यह गुण इंगित करता है कि, जब इन ऑपरेशनों में तीन या अधिक आंकड़े होते हैं, तो परिणाम उस तरीके पर निर्भर नहीं करता है जिसमें शर्तों को समूहीकृत किया जाता है ।

चूंकि इसके अलावा और गुणन में सहयोगी संपत्ति के आवेदन का कोई स्पष्ट प्रभाव नहीं है, इसलिए इसकी उपयोगिता के बारे में सवाल उठ सकते हैं। खैर, इन सिद्धांतों को जानना ऐसे कार्यों को गहराई से मास्टर करने के लिए कार्य करता है, खासकर जब दूसरों के साथ जोड़ दिया जाता है, जैसे कि घटाव और विभाजन; इसके अलावा, इन अंतिम दो सहकारिता में पूरा नहीं हुआ है, और यह इसके विपरीत है कि हम गणित का सही उपयोग कर सकते हैं।

सहयोगी संपत्ति की सीमाओं को समझने के लिए, घटाव के मामले को लें। यदि हम उदाहरण के लिए, समीकरण 4 - 2 - 6 = x का निरीक्षण करते हैं और इसे सहजता से हल करते हैं, तो बाएं से दाएं संचालन करते हैं, तो हम जो परिणाम प्राप्त करेंगे, वह 4 है, क्योंकि 4 शून्य से 2 2, और 2 शून्य से 6 है। प्रभावी रूप से है, -4। लेकिन क्या होगा अगर हमने साहचर्य संपत्ति को लागू करने की कोशिश की जैसा कि हमने जोड़ और गुणा के मामलों में किया था? जैसा कि हम नीचे देखेंगे, घटाव के साथ वास्तविकता बहुत अलग है।

यदि, प्रत्येक मान को सीधे घटाने के बजाय, हमने उन्हें समूहित करने का निर्णय लिया है, ताकि हम 4 को 2 घटा 6 के परिणाम से घटाएं, अर्थात 4 - (2 - 6) = x है, तो समीकरण 8 में परिणाम होगा। यह कैसे संभव है कि केवल दो कोष्ठकों को रखने का तथ्य परिणाम को बहुत बदल देता है? आइए गणनाओं के विकास के चरण दर चरण देखें: हम घटाव (2 - 6) करते हैं और -4 प्राप्त करते हैं, इसलिए समीकरण का पहलू 4 - (-4) हो जाता है; आगे बढ़ने से पहले, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि कोष्ठक को हटाते समय हमें माइनस साइन को बदलना होगा और इसे एक प्लस के साथ बदलना होगा, अर्थात, अंतिम समीकरण 4 + 4 है, जिसका परिणाम, 8 में है ।

इसी प्रकार, यदि हम समीकरण 24/3/2 = x लेते हैं, तो जो परिणाम हमें प्राप्त होता है अगर हम उसके स्वरूप में परिवर्तन नहीं करते हैं तो 4, क्योंकि 24 विभाजित 3 8 है, जो विभाजित 2 देता है 4. यदि, इसके बजाय, हमने डालने का फैसला किया सहयोगी संपत्ति के साथ विभाजन की आत्मीयता का परीक्षण करने के लिए, हम जल्दी से महसूस करेंगे कि यह अशक्त है। 24 / (3/2) = x का परिणाम 16 है, क्योंकि 3 विभाजित 2 1, 5 देता है, और 24 विभाजित 1, 5 16 है।