प्रगति की धारणा किसी चीज के उत्तराधिकार, प्रगति, विकास या उन्नति से जुड़ी हो सकती है। दूसरी ओर, ज्यामितीय, ज्यामिति से जुड़ा एक विशेषण है (गणित की शाखा जो किसी स्थान या विमान में आकृतियों की विशेषताओं के विश्लेषण के लिए उन्मुख होती है)।

इन परिभाषाओं से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि ज्यामितीय प्रगति का विचार क्या दर्शाता है। यह क्रमिक तत्वों द्वारा गठित एक अनुक्रम है, जिसे पिछले तत्व को एक स्थिर मान से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इस स्थिरांक को कारक या अनुपात कहा जाता है।

आमतौर पर, एक ज्यामितीय प्रगति एक अनुक्रम को संदर्भित करती है जिसमें शर्तों की एक सीमित संख्या होती है। दूसरी ओर, यदि अनुक्रम अनंत तक फैला हुआ है, तो इसे आमतौर पर ज्यामितीय उत्तराधिकार के रूप में जाना जाता है।

एक ज्यामितीय प्रगति जिसका अनुपात 5 है वह निम्न होगी: 5, 25, 125, 625, 3125, 15625 । जैसा कि देखा जा सकता है, यह प्रगति प्रत्येक शब्द को 5 : 5 x 5 = 25 से गुणा करके प्राप्त की जाती है; 25 x 5 = 125 ; 125 x 5 = 625 ; 625 x 5 = 3125 ; 3125 x 5 = 15625 ।

उपर्युक्त ज्यामितीय प्रगति के दायरे में, हमें यह बताना होगा कि जो मौजूद है उसे शब्दों का प्रक्षेप कहा जाता है। इसका उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जाता है कि एक ज्यामितीय प्रगति का निर्माण क्या है जो इस तथ्य से पहचाना जाता है कि इसके छोरों ने नंबर दिए हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यह स्थापित किया गया है कि तीन संख्याओं को 3 और 48 के बीच प्रक्षेपित किया जाना चाहिए, परिणाम 6, 12 और 24 से बना होगा।

इस प्रक्षेप की गणना कैसे की जा सकती है? मूल रूप से निम्नलिखित सूत्र को पूरा करना:
r = m + 1 /b / a
इस सूत्र में, मी मीडिया की संख्या से मेल खाती है जिसे प्रक्षेपित किया जाना चाहिए और बी और एक संख्या है जिसे चरम सीमा पर रखा जाता है। इस प्रकार, ऊपर दिए गए उदाहरण में, मी नंबर 3 होगा, बी 48 होगा और 3 होगा।

उसी तरह, हम इस बात को नजरअंदाज नहीं कर सकते हैं कि किसी भी ज्यामितीय प्रगति के साथ गणितीय संचालन की एक और श्रृंखला को अंजाम दिया जा सकता है। विशेष रूप से, आप किसी भी दी गई प्रगति में निश्चित शब्दों की संख्या तक आगे बढ़ सकते हैं, और भले ही यह घट रहा हो।

इस अर्थ में यह जानना दिलचस्प है कि प्रगति की शर्तों का योग उस अनुपात के लिए अंतिम शब्द के बराबर है, जिसका अनुपात 1 माइनस 1 से विभाजित है।

लेकिन अभी और भी बहुत कुछ हैं। आप एक निश्चित संख्या के उत्पाद को ज्यामितीय प्रगति से समतुल्य बना सकते हैं।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक ज्यामितीय प्रगति का लगातार कारक एक नकारात्मक संख्या या यहां तक ​​कि एक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है । जब अनुपात एक ऋणात्मक संख्या है, तो ज्यामितीय प्रगति के तत्व सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच वैकल्पिक होंगे:

कारक -3 : 8 के साथ ज्यामितीय प्रगति ; -24; 72; -216 ।
कारक 1.5 : 2 के साथ ज्यामितीय प्रगति ; 3; 4.5; 6.75 ।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए, अंत में, कि यदि कारक 1 है, तो ज्यामितीय प्रगति स्थिर होगी:

कारक 1 : 5, 5, 5, 5, 5 (चूंकि 5 x 1 = 5, 5 x 1 = 5 आदि) के साथ ज्यामितीय प्रगति।