शब्द जो हमें पहले स्थान पर रखता है, सीमा, हम कह सकते हैं कि यह एक शब्द है जो लैटिन से व्युत्पन्न रूप से आता है। विशेष रूप से, यह संज्ञा "लाइम्स" से निकलता है, जिसका अनुवाद "सीमा या किनारा" के रूप में किया जा सकता है।
सीमा की धारणा के कई अर्थ हैं। यह एक ऐसी रेखा हो सकती है जो दो क्षेत्रों को अलग करती है, एक छोर से, जहां एक निश्चित समय आता है या प्रतिबंध या सीमा से।
गणित के लिए, एक सीमा एक निश्चित परिमाण है जिसमें हर बार परिमाण के अनंत अनुक्रम की शर्तें आती हैं।
इस बीच, फ़ंक्शन, पिछले शब्द से भी मेल खाता है क्योंकि इसकी उत्पत्ति का संबंध है। और, इसी तरह, यह लैटिन से आता है, "फंक्शनलियो" से अधिक सटीक रूप से, जो "फ़ंक्शन या निष्पादन" का पर्याय है।
दूसरी ओर, फ़ंक्शन एक अवधारणा है जो विभिन्न मुद्दों को संदर्भित करता है। इस मामले में, हम गणितीय फ़ंक्शन (एक सेट बी के तत्वों के साथ एक सेट ए के तत्वों के संबंध एफ) की परिभाषा में रुचि रखते हैं।
एक फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति सीमा गणितीय अंतर गणना में उपयोग की जाती है और एक मूल्य और एक बिंदु के बीच निकटता को संदर्भित करती है। उदाहरण के लिए: यदि किसी फ़ंक्शन f की बिंदु t पर X सीमा है, तो इसका मतलब है कि f का मान वांछित के बराबर X के करीब हो सकता है, बिंदुओं के पर्याप्त रूप से t के समीप, लेकिन अलग-अलग।
फ़ंक्शन की सीमा क्या होगी, हमें एक बहुत महत्वपूर्ण सिद्धांत के अस्तित्व को उजागर करना होगा। हम सैंडविच के सिद्धांत का उल्लेख कर रहे हैं, जिसे सैंडविच प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, जिसका मूल ग्रीक भौतिक विज्ञानी आर्किमिडीज के समय में है, जिन्होंने इसका इस्तेमाल सिनीडस के गणितज्ञ यूडोक्सस के रूप में किया था, जो दार्शनिक प्लेटो के शिष्य थे।
हालांकि, यह माना जाता है कि इसका असली सूत्रधार कोई और नहीं बल्कि जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777 - 1855) हैं, जो इतिहास में "गणित के राजकुमार" के क्वालिफायर से नीचे गए हैं।
उस प्रमेय को हमें यह कहना होगा कि जो स्थापित करने के लिए आता है वह यह है कि यदि किसी विशेष बिंदु के संबंध में दो कार्यों को एक ही सीमा के लिए चुना जाता है, तो उनके बीच स्थापित किसी भी अन्य फ़ंक्शन को भी उसी सीमा के साथ साझा किया जाएगा।
गणितीय विश्लेषण और गणना के दायरे में, और प्रदर्शनों के क्षेत्र में और अधिक सटीक रूप से, जहां हम आमतौर पर सैंडविच सिद्धांत के उपयोग का सहारा लेते हैं, जिसे चोर और दो पुलिसकर्मियों का प्रमेय भी कहा जाता है।
कार्यों की सीमा पहले से ही सत्रहवीं शताब्दी में विश्लेषण की गई थी, हालांकि विभिन्न विशेषज्ञों के काम से अठारहवीं शताब्दी में आधुनिक अंकन का उदय हुआ। ऐसा कहा जाता है कि कार्ल वेइर्रास्टास 1850 और 1860 के बीच एक सटीक तकनीक का प्रस्ताव करने वाले पहले गणितज्ञ थे।
संक्षेप में, फंक्शन एक्स विथ टी के साथ एक फ़ंक्शन का अर्थ है कि यह फ़ंक्शन टी के पास अपनी सीमा एक्स की ओर जाता है, एफ (एक्स) के साथ एक्स के करीब जितना संभव हो लेकिन एक्स को टी से अलग बनाता है । किसी भी मामले में, निकटता का विचार सटीक नहीं है, इसलिए एक औपचारिक परिभाषा के लिए अधिक तत्वों की आवश्यकता होती है।