बीजगणित गणित की वह शाखा है जो संकेतों, अक्षरों और संख्याओं के माध्यम से अंकगणितीय संचालन के सामान्यीकरण के लिए उन्मुख होती है। बीजगणित में, पत्र और संकेत प्रतीकवाद के माध्यम से एक और इकाई का प्रतिनिधित्व करते हैं।
दूसरी ओर, रैखिक एक विशेषण है जो संदर्भित करता है कि एक लाइन (एक रेखा या एक अनुक्रम) से क्या जुड़ा हुआ है। गणित के क्षेत्र में, रैखिक के विचार से तात्पर्य है जिसके परिणाम एक कारण के समानुपाती होते हैं।
यह बीजगणित के विशेषज्ञता के लिए रेखीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है जो मैट्रिस, वैक्टर, वेक्टर रिक्त स्थान और रेखीय समीकरणों के साथ काम करता है । यह ज्ञान का एक क्षेत्र है जो विशेष रूप से 1840 के दशक में जर्मन हरमन ग्रासमैन (1809-1877) और आयरिश विलियम रोवन हैमिल्टन (1805-1865) के योगदान के साथ अन्य गणितज्ञों के बीच विकसित हुआ।
वेक्टर रिक्तियां वे संरचनाएं हैं जो तब उत्पन्न होती हैं जब एक सेट जो खाली नहीं होता है वह पंजीकृत होता है, एक बाहरी ऑपरेशन और एक आंतरिक ऑपरेशन। वैक्टर वे तत्व हैं जो वेक्टर स्पेस का हिस्सा हैं। मैट्रिसेस के संबंध में, यह संख्याओं का एक दो-आयामी सेट है जो गुणांक के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली है।
विलियम रोवन हैमिल्टन गणित के क्षेत्र में सबसे प्रमुख नामों में से एक है, क्योंकि यह वह था जिसने क्वाटरनियन बनाने के अलावा, "वेक्टर" शब्द गढ़ा था। यह अवधारणा वास्तविक संख्याओं से फैली हुई है, जैसा कि जटिल लोगों के साथ होता है, और वे चार संख्याओं के समूह हैं जो तीन आयामों में मात्राओं का अध्ययन करते समय बहुत उपयोगी होते हैं जो एक परिमाण और एक पते की उम्मीद करते हैं।
जो संख्याएँ चतुर्धातुक बनाती हैं, उन्हें जोड़, गुणा और समानता के कुछ नियमों को पूरा करना चाहिए । इस खोज का गणित के लिए काफी महत्व था। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के संबंध में, इसे उस रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें तर्कसंगत पाए जाते हैं (शून्य, सकारात्मक और नकारात्मक) और अपरिमेय (जिन्हें व्यक्त नहीं किया जा सकता है)।
रैखिक बीजगणित द्वारा निपटाए गए तत्वों की परिभाषा के बाद, यह जानना महत्वपूर्ण है कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाई गई है, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, रैखिक समीकरणों (समीकरणों का एक सेट जो पहले डिग्री हैं) पर परिभाषित किया गया है, एक कम्यूटेटिव रिंग या एक पिंड ।
वेक्टर रिक्त स्थान, रेखीय बीजगणित के अध्ययन का फोकस, दो सेट हैं: वैक्टरों में से एक और स्केलर के अन्य। स्केलर गणितीय निकायों के तत्व हैं जो परिमाण के साथ एक घटना का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, हालांकि दिशा के बिना; यह एक वास्तविक, जटिल या स्थिर संख्या हो सकती है।रैखिक परिवर्तनों में, वैक्टर हमेशा स्केलर अनुक्रम नहीं होते हैं; यह भी संभव है कि वे किसी भी सेट के तत्व हों। इतना अधिक कि एक वेक्टर स्पेस एक निश्चित क्षेत्र पर किसी भी सेट से उत्पन्न हो सकता है।
रैखिक बीजगणित के हित का एक और बिंदु गुणों का समूह है जो वेक्टर संरचनाओं के शीर्ष पर अतिरिक्त संरचनाएं लगाए जाने पर प्रकट होता है; इसका एक बहुत अक्सर उदाहरण तब होता है जब एक आंतरिक उत्पाद प्रस्तुत किया जाता है, जो कि एक जोड़ी वैक्टर के बीच एक प्रकार का उत्पाद है, जो अवधारणाओं की शुरूआत को जन्म देता है जैसे कि दो वैक्टर द्वारा गठित कोण या उनकी लंबाई। ।
यह कहना सही है कि रैखिक बीजगणित एक सक्रिय क्षेत्र है जो कई अन्य लोगों के साथ जुड़ता है, जिनमें से कुछ गणित से संबंधित नहीं हैं, जैसे अंतर समीकरण, कार्यात्मक विश्लेषण, इंजीनियरिंग, संचालन अनुसंधान और कंप्यूटर ग्राफिक्स। । इसके अलावा, गणित के क्षेत्रों जैसे कि मॉड्यूल सिद्धांत या मल्टीलाइनर बीजगणित को रैखिक बीजगणित से विकसित किया गया है।